Une section conique est la courbe plane formée par l'intersection d'un plan et d'un cône circulaire droit à deux têtes. Un tel cône est représenté sur la figure 1.
Le cône est la surface formée par toutes les lignes passant par un cercle et un point. Le point doit se trouver sur une ligne, appelée axe, qui est perpendiculaire au plan du cercle au centre du cercle. Ce point est appelé le sommet, et chaque ligne sur le cône est appelée une génératrice. Les deux parties du cône situées de part et d'autre du sommet sont des nappes. Lorsque le plan d'intersection est perpendiculaire à l'axe, la section conique est un cercle (figure 2).
Lorsque le plan d'intersection est incliné et coupe complètement à travers l'une des nappes, la section est un ovale appelé ellipse (figure 3).
Lorsque le plan d'intersection est parallèle à l'une des génératrices, il ne coupe qu'une seule nappe. La section est une courbe ouverte appelée parabole (figure 4).
Lorsque le plan d'intersection coupe les deux nappes, la section est une hyperbole, une courbe à deux parties, appelées branches (figure 5).
Toutes ces sections sont courbes. Si le plan d'intersection passe par le sommet, cependant, la section sera un seul point, une seule ligne, d'une paire de lignes croisées. Ces sections sont d'importance mineure et sont appelées sections coniques «dégénérées».
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens savent que les sections coniques peuvent être définies d'une manière qui n'a aucun lien évident avec les sections coniques. Un ensemble de moyens est le suivant:
Ellipse: L'ensemble des points P tels que PF1 + PF2 est égal à une constante et F1 et F2 sont des points fixes appelés les foyers (Figure 6).
Parabole: L'ensemble des points P tels que PD = PF, où F est un point fixe appelé le foyer et D est le pied de la perpendiculaire de P à une ligne fixe appelée la directrice (Figure 7).
Hyperbole: L'ensemble des points P tels que PF1 - PF2 est égal à une constante et F1 et F2 sont des points fixes appelés les foyers (Figure 8).
Si P, F et D sont représentés comme sur la figure 7, alors l'ensemble des points P satisfaisant l'équation PF / PD = e où e est une constante, est une section conique. Si 0 <e <1, alors la section est une ellipse. Si e = 1, alors la section est une parabole. Si e> 1, alors la section est une hyperbole. La constante e s'appelle l'excentricité de la section conique.
Comme le rapport PF / PD n'est pas modifié par un changement de l'échelle utilisée pour mesurer PF et PD, tous
les sections coniques ayant la même excentricité sont géométriquement similaires.
Les sections coniques peuvent également être définies analytiquement, c'est-à-dire comme des points (x, y) qui satisfont une équation appropriée. Une manière intéressante d'y parvenir est de commencer avec un cône correctement placé dans l'espace de coordonnées. Un cône dont le sommet est à l'origine et dont l'axe coïncide avec l'axe z a l'équation x2 + y2– kz2 = 0. L'équation d'un plan dans l'espace est ax + by + cz + d = 0. Si
on utilise la substitution pour éliminer z de ces équations, et combine des termes semblables, le résultat est une équation de la forme Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 où au moins un des coefficients A, B et C sera différent de zéro.
Par exemple si le cône x2 + y2– z2 = 0 est coupé par le plan y + z– 2 = 0, les points communs aux deux doivent satisfaire l'équation x2 + 4y– 4 = 0, qui peut être simplifiée par une translation des axes en x2 + 4y = 0. Puisque, dans cet exemple, le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône, la section est une parabole (figure 9).
On peut suivre cette procédure avec d'autres plans d'intersection. Le plan z– 5 = 0 produit le cercle x2 + y2– 25 = 0. Les plans y + 2z– 2 = 0 et 2y + z– 2 = 0 produisent respectivement l'ellipse 12x2 + 9y2– 16 = 0 et l'hyperbole 3x2– 9y2 + 4 = 0 (après une translation simplificatrice des axes). Ces plans, regardant vers le bas de l'axe des x, sont illustrés à la figure 10.
Comme ces exemples l'illustrent, les sections coniques correctement placées ont des équations qui peuvent être mises sous les formes suivantes:
Cercle: x2 + y2 = r2
Ellipse: A2x2 + B2y2 = C2
Parabole: y = Kx2
Hyperbole: A2x2 - B2y2 = + C2
Les équations ci-dessus sont «correctement placées». Lorsque l'équation n'est pas dans l'une des formes ci-dessus, il peut être difficile de dire exactement quel type de section conique le
l'équation représente. Il existe cependant un test simple qui peut le faire. Avec l'équation écrite Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, le discriminant B2– 4AC identifiera de quelle section conique il s'agit. Si le discriminant est positif, la section est une hyperbole; s'il est négatif, la section est une ellipse; s'il est nul, la section est une parabole. Le discriminant ne fera pas la distinction entre une section conique propre et une section dégénérée telle que x2– y2 = 0; il ne fera pas la distinction entre une équation qui a des racines réelles et une autre, comme x2 + y2 + 1 = 0, qui n'en a pas.
Les élèves qui connaissent la formule quadratique reconnaîtront le discriminant, et avec raison. Il s'agit de trouver les points où la section conique traverse la ligne à l'infini. Si le discriminant est négatif, il n'y aura pas de solution, ce qui est cohérent avec le fait que les cercles et les ellipses se trouvent entièrement dans la partie finie du plan. Les paraboles conduisent à une racine unique et sont tangentes à la ligne à l'infini. Les hyperboles mènent à deux racines et la traversent à deux endroits.
Les sections coniques peuvent également être décrites avec des coordonnées polaires. Pour ce faire le plus facilement, on utilise les définitions focus-directrice, plaçant le focus à l'origine et la directrice à x = −k (en coordonnées rectangulaires). Alors l'équation polaire est r = Ke / (1− ecos θ) où e est l'excentricité (Figure 11).
L'excentricité dans cette équation est numériquement égale à l'excentricité donnée par un autre rapport: CF / CV, où CF représente la distance du centre géométrique de la section conique au foyer, et CV la distance du centre au sommet. Dans le cas d'un cercle, le centre et les foyers sont les mêmes; donc CF et l'excentricité sont tous les deux nuls. Dans le cas de l'ellipse, les sommets sont les extrémités du grand axe, donc plus éloignés du centre que les foyers. CV est donc plus grand que CF, et l'excentricité est inférieure à 1. Dans le cas de l'hyperbole, les sommets se trouvent sur l'axe transversal, entre les foyers, donc l'excentricité est supérieure à 1. Dans le cas de la parabole, le «Centre» est infiniment éloigné à la fois du foyer et du sommet; donc (pour ceux qui ont une bonne imagination) le rapport CF / CV est de 1.
Mots clés
Section conique— Une figure qui résulte de l'intersection d'un cône circulaire droit avec un plan. Les sections coniques sont le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.
Directrice- Une ligne qui, avec un focus, détermine la forme d'une section conique.
Excentricité- Le rapport centre à foyer / centre à sommet dans une section conique; ou, le rapport distance-toofocus / distance-to-directrix, qui est le même pour tous les points d'une section conique. Ces deux définitions sont mathématiquement équivalentes.
Concentrer- Un point, ou l'un d'une paire de points, dont la position détermine la forme d'une section conique.
Ressources
Livres
Finney, Ross L., et al. Calcul: graphique, numérique, algébrique d'une seule variable. Reading, MA: Addison Wesley Publishing Co., 1994.
Gullberg, Jan et Peter Hilton. Mathématiques: depuis la naissance des nombres. WW Norton & Company, 1997.
Autre
Vendeurs, James A. «Une introduction aux sections coniques» Institut Krell. (consulté le 7 octobre 2006.).
J. Paul Moulton