Deux numéros sont dits amiables (c'est-à-dire amicaux) si chacun d'eux est égal à la somme des correct diviseurs des autres (c'est-à-dire des nombres entiers inférieurs aux nombres donnés qui divisent le nombre donné sans reste). Par exemple, 220 a des diviseurs stricts 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110. La somme de ces diviseurs est 284. Les diviseurs stricts de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142. Leur somme est de 220; donc 220 et 284 sont amiables. Il s'agit de la plus petite paire de numéros amiables.
La découverte des nombres à l'amiable est attribuée au philosophe grec néo-pythagoricien Iamblique de Chalcis (vers 250–330 après JC), qui attribua à Pythagore (582–500 avant JC) la connaissance originale de leur nature. Les pythagoriciens croyaient que les nombres amicaux, comme tous les nombres spéciaux, avaient une signification cosmique profonde. Une référence biblique (un don de 220 chèvres de Jacob à Ésaü, Genèse 23: 14) est considérée par certains comme indiquant une connaissance antérieure des nombres amicaux.
Aucune paire de nombres à l'amiable autre que 220 et 284 n'a été découverte par les mathématiciens européens jusqu'en 1636, lorsque le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) a trouvé la paire 18, 496 et 17, 296. Un siècle plus tard, le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707) –1783) a effectué une recherche approfondie et trouvé environ 60 paires supplémentaires. Étonnamment, cependant, il a négligé la plus petite paire après 220 et 284, soit 1184 et 1210. Elle a ensuite été découverte en 1866 par un garçon de 16 ans, Nicolo Paganini.
Pendant la période médiévale, les mathématiciens arabes ont préservé et développé les connaissances mathématiques des anciens Grecs. Par exemple, le polymathe Thabit ibn Qurra (836-901) a formulé une règle ingénieuse pour générer des paires de nombres amiables: Soit a = 3 (2n) - 1, b = 3 (2n-1) - 1, et c = 9 (22n -1) - 1; alors, si a, b et c sont des nombres premiers, 2nab et 2nc sont amiables. Cette règle produit 220 et 284 lorsque n est égal à 2. Lorsque n est égal à 3, c n'est pas un nombre premier et les nombres résultants ne sont pas amiables. Pour n = 4, il produit la paire de Fermat, 17, 296 et 18, 416, en sautant la paire de Paganini et d'autres.
Le mathématicien espagnol Al Madshritti (décédé en 1007), le mathématicien islamique Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), le mathématicien et philosophe français René Descartes (1596-1650) et le mathématicien suisse Leonhard Euler sont d'autres scientifiques qui ont étudié les nombres amicaux tout au long de l'histoire. (1707–1783).
Les numéros à l'amiable n'ont aucune utilité pratique, mais les professionnels comme les amateurs apprécient depuis des siècles de les chercher et d'explorer leurs propriétés.