Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a apporté d'importantes contributions originales à toutes les branches des mathématiques étudiées à son époque.
Le fils d'un ecclésiastique, Leonhard Euler, est né à Bâle le 15 avril 1707. Il est diplômé de l'Université de Bâle en 1724. En 1727, Catherine je l'invite à rejoindre l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, en Russie; il devint professeur de physique en 1730 et professeur de mathématiques en 1733. En 1741, Frédéric le Grand l'appela à Berlin. Euler y fut directeur des mathématiques à l'Académie des sciences jusqu'en 1766, date à laquelle il retourna à Saint-Pétersbourg, en tant que directeur de l'académie. Peu de temps après son retour à Saint-Pétersbourg, Euler est devenu aveugle mais a continué à dicter des livres et des papiers. En 1776, ayant perdu sa première femme, il épousa sa belle-sœur. Euler mourut à Saint-Pétersbourg le 7 septembre 1783.
Analyse et calcul
Les manuels d'Euler présentaient tout ce que l'on savait des mathématiques d'une manière claire et ordonnée, définissant des modes de notation et de méthode qui ont eu une influence jusqu'à nos jours. À plusieurs reprises, il a utilisé les notations f (x), e, π, i, Σ, bien qu'il n'ait pas été dans tous les cas le premier à le faire. Angles d'un triangle qu'il a représenté par A, B, C et les côtés correspondants par a, b, c, simplifiant ainsi les formules trigonométriques. De plus, il a défini les valeurs trigonométriques comme des ratios et a introduit la notation moderne.
Le premier grand manuel d'Euler était Introduction de l'analyse infinie (1748). Le premier volume est consacré à la théorie des fonctions, et en particulier aux fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques. Ces fonctions sont développées sous forme de séries infinies. A cette époque, aucune notion claire de convergence n'existait; il n'est donc pas surprenant que, bien qu'Euler ait mis en garde contre l'utilisation de séries divergentes, il n'a pas lui-même toujours réussi à éviter de telles séries. Il a également résolu le problème subtil des logarithmes des nombres négatifs et imaginaires, et il a prouvé que e est irrationnel.
Le deuxième volume du Introductio contient une étude analytique des courbes et des surfaces. Premièrement, Euler a considéré l'équation générale du second degré en deux dimensions, montrant qu'elle représente les différentes sections coniques; la discussion comprenait un traitement des asymptotes, des centres de courbure et des courbes de degré supérieur. Passant au cas des trois dimensions, Euler a donné la première classification complète des surfaces représentées par l'équation générale du deuxième degré. Cette partie de la Introductio constitue réellement le premier traité de géométrie analytique.
Euler a écrit deux grands manuels sur le calcul: Institutions de calcul différentiel (1755) et Calcul intégral des institutions (3 volumes, 1768-1770). Sa réalisation exceptionnelle dans ce domaine a été l'invention du calcul des variations, décrit dans L'art de trouver des courbes qui possèdent une propriété de maximum ou de minimum (en latin; 1744). Ce sujet est né des problèmes isopérimétriques qui avaient suscité un grand intérêt chez les mathématiciens de l'époque. Ces problèmes, impliquant la détermination de la forme d'une courbe ayant une certaine propriété maximale ou minimale, étaient tout à fait différents des problèmes ordinaires maximum et minimum du calcul différentiel. Bien que des problèmes particuliers aient été résolus par d'autres, c'est Euler qui a développé une méthode générale. Sa méthode était essentiellement géométrique, ce qui rendait très claire la solution des problèmes les plus simples.
Théorie des nombres
Un autre des manuels remarquables d'Euler était Guide complet d'algèbre (1770). Le premier volume prend l'algèbre jusqu'aux équations cubiques et biquadratiques, tandis que le second est consacré à la théorie des nombres.
Euler a prouvé bon nombre des résultats énoncés par Pierre Fermat. La proposition la plus célèbre de Fermat, dont la preuve générale a vaincu les efforts des mathématiciens les plus habiles jusqu'à nos jours, déclare que l'équation xn + yn = zn n'a pas de solution en nombres entiers pour n supérieur à 2. Euler a fait la première attaque sur le problème, démontrant le théorème pour n = 3 et n = 4.
Fermat a également déclaré que l'équation diophantienne x2 - ay2 = 1 a toujours une infinité de solutions. Bien qu'Euler n'ait pas réussi à prouver cette assertion, il a utilisé des solutions successives de l'équation pour calculer des approximations de √a et, en inversant la procédure, a trouvé des solutions de l'équation en développant √a comme une fraction continue.
Mécanique et hydrodynamique
Euler Mechanica (1736) fut le premier manuel dans lequel la dynamique des particules newtoniennes fut développée à l'aide de méthodes analytiques. Une autre œuvre d'Euler, Éléments Ian du corps (1765), ont traité de la même manière la mécanique des corps solides; en résolvant le mouvement d'un corps solide en un mouvement du centre de masse et une rotation autour de ce point, Euler est arrivé aux équations générales du mouvement. Le terme «moment d'inertie» a été introduit ici pour la première fois. Un mémoire présenté par Euler à l'Académie des sciences de Paris en 1755 contenait une réalisation encore plus grande, à savoir, les équations générales de l'hydrodynamique, consistant en l'équation de continuité, exprimant la constance de masse d'un élément fluide et les effets de la pression sur celui-ci. comme il se déplace, et les équations du mouvement, reliant les forces à l'accélération de l'élément fluide.
Euler a également consacré beaucoup d'attention aux problèmes de l'astronomie. Il a étudié l'attraction des ellipsoïdes et a reconnu que les marées sont effectivement générées par les composantes horizontales des forces perturbatrices. Euler a également contribué au problème des trois corps, qui était important dans la théorie du mouvement de la lune.
Les connaissances générales d'Euler étaient étendues. Comme son contemporain Jean d'Alembert, il a écrit un livre sur la théorie de la musique. Ses intérêts s'étendent également aux énigmes mathématiques, à l'optique, à la théorie de la chaleur et à l'acoustique. Enfin, Euler a tenté une vulgarisation de la philosophie et des sciences naturelles en Lettres à une princesse d'allemagne, un ouvrage en trois volumes qui comprend toute sa gamme de travaux scientifiques.
lectures complémentaires
Les contributions d'Euler à la mécanique et à l'hydrodynamique sont présentées dans une perspective historique dans René Dugas, Une histoire de la mécanique (trans. 1955). Les travaux généraux qui traitent d'Euler incluent Eric Temple Bell, Hommes de mathématiques (1937); Dirk J. Struick, Une histoire concise des mathématiques (1948; 3e éd. 1967); et James R. Newman, éd., Le monde des mathématiques (4 vols., 1956). □