L'homme et le mythe . La vie et les vues de Pythagore sont difficiles à reconstruire, car l'homme lui-même a inspiré un culte et s'est rapidement enveloppé de légendes tissées par ses disciples. Selon Empédocle, qui a été fortement influencé par sa pensée, Pythagore «a étiré son esprit et a facilement vu chaque chose en dix ou vingt générations». Ses partisans étaient concentrés dans la ville de Croton, dans le sud de l'Italie, et sont restés actifs en tant que groupe d'environ 530 au quatrième siècle avant notre ère. En général, ils avaient tendance à se diviser en mystiques d'une part et en mathématiciens d'autre part. La principale préoccupation concerne ce dernier groupe, bien que les deux partagent la même prémisse que l'essence de toutes choses pourrait être exprimée en chiffres.
Structure et forme . La principale preuve de cette affirmation selon laquelle la réalité est numérique était leur observation des rapports simples qui sous-tendent l'harmonie dans les gammes musicales - celui de l'octave (1: 2), par exemple, dans lequel une corde divisée en deux vibre deux fois plus vite pour produire la même note dans un registre supérieur. Le fait que certains phénomènes présentent un ordre numérique suggérait aux pythagoriciens que l'univers dans son ensemble pourrait avoir une base quantitative et mathématique. Au mieux, cette théorie a marqué un changement important par rapport à la façon dont les Milésiens ont abordé la nature, puisque leur objectif principal semble avoir été d'isoler le matériel physique du monde. Pour cette raison, les Milésiens sont généralement identifiés comme matérialistes. Pour les pythagoriciens, au contraire, la recherche de la vérité ne se dirigeait pas vers la matière mais plutôt vers la structure et la forme. Les nombres et les ratios exprimés en nombres étaient les clés pour comprendre l'essence de la réalité. L'influence de cette croyance à la fois sur la direction et sur le langage de toute science occidentale ultérieure est évidente.
Les auditeurs . Au pire, cependant, les mêmes idées avaient également tendance à promouvoir une sorte de spéculation mystique parmi les Pythagoriciens. Pour certains d'entre eux, en particulier ceux qui appartenaient au groupe mystique appelé le Acoustique («Auditeurs»), les nombres avaient le statut d'objets de culte quasi-divins. Les Auditeurs, c'est-à-dire allaient bien au-delà de la recherche mathématique stricte et cherchaient à découvrir des nombres sous tous les aspects de l'expérience. Ils attribuaient des valeurs numériques non seulement aux relations objectives mais aussi aux choses et
qualités. Le numéro 3, par exemple, a été identifié comme étant un homme; 2 en tant que femme; et 5 comme mariage.
L'Univers . Les pythagoriciens ont généralisé leur découverte des ratios en musique dans une vision de l'univers entier lui-même comme «une échelle musicale et un nombre». Cette théorie est à l'origine de la célèbre idée de la «musique des sphères», selon laquelle on croyait que la lune, le soleil, les planètes et les étoiles produisaient des notes de musique différentes en tournant dans l'espace. Pour l'esprit entraîné à les entendre, ces notes se fondent toutes en parfaite harmonie. Ici, on voit aisément comment un même point de départ pourrait produire à la fois des mathématiques pures et une sorte de mysticisme. La contemplation de la musique des sphères est à la fois un acte scientifique et un acte spirituel.
Astronomie et géométrie . L'enquête empirique et l'expérimentation chez les Pythagoriciens étaient plus cohérentes que dans le cas du milésien phusiologoi. Une grande partie de l'attention de Pythagore était en fait dirigée vers l'astronomie, dans les tentatives de calculer les distances et les tailles relatives des corps célestes et de fournir des comptes rendus des éclipses lunaires et solaires. Le groupe s'est surtout fait remarquer pour ses recherches sur l'acoustique, à travers la mesure de longueurs de cordes vibrantes et de colonnes d'air. Ils ont été crédités de classer les nombres en pairs et impairs. La géométrie, la science des nombres solides, était également un élément central de leur travail. La preuve qui porte leur nom - le théorème de Pythagore (le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés [a2 + b2 = c2]) - semble dater de la fin du IVe siècle avant JC Sa vérité était en fait un ancien, connu même des anciens Babyloniens jusqu'à cinq cents ans plus tôt; ce que les Grecs ont fait était de fournir une démonstration concluante.
Impact . La contribution majeure et permanente du groupe pythagoricien est ce que l'on pourrait appeler son arithmétisation du monde, sa vision de la réalité comme en quelque sorte numérique. Même si elle avait tendance à s'enchevêtrer dans les croyances mystiques, leur perception fondamentale - que la science des nombres est fondamentale pour toute science de la nature - avait une influence profonde. La réalité est considérée comme ordonnée, régulière, mathématique et facilement accessible aux esprits rationnels. La nature est en effet un nombre, du moins dans le sens où les mathématiques sont la manière la plus objective de parler des événements naturels. Dans le même temps, les travaux de Pythagore sur les problèmes géométriques ont également contribué à affiner davantage un langage scientifique de théorème, de preuves et de preuves.