Impact. Platon est maintenant surtout connu comme le principal représentant de la philosophie idéaliste en Occident et le fondateur de l'Académie, la première université occidentale. Il est cependant beaucoup moins souvent reconnu comme un philosophe mathématicien (ou mathématicien philosophique), même si c'est ainsi qu'il aurait pu préférer se décrire.
Formes. Son activité purement philosophique a également influencé la recherche scientifique grecque, même si cette influence était certainement mitigée et pas toujours encourageante. L'idéalisme de Platon dans son ensemble tendait à dévaloriser le monde des sens comme un royaume instable de «devenir» et de «disparaître» continuels. Ce n'est qu'une ombre pâle du monde réel des Formes. Si le monde que nous percevons est irréel, cependant, alors la recherche sur les phénomènes naturels a en conséquence moins de valeur et d'importance que les efforts pour comprendre les formes idéales sur lesquelles les choses de notre monde sont modelées. La vérité ne se trouve pas dans le visible mais dans le monde intelligible et doit être accédée par la raison et non par l'expérience sensorielle. Pourquoi perdre du temps à utiliser les sens imparfaits pour en savoir plus sur un monde qui est finalement une illusion?
Parménide. Dans sa position épistémologique, Platon devait clairement beaucoup à Parménide, qui rejetait également les sens au profit d'une logique pure et abstraite. En ces termes, Platon jugeait la valeur d'une ligne particulière de recherche scientifique en fonction de son degré de découverte de modèles dans le monde naturel qui dirigeaient l'esprit vers le royaume éternel et idéal de l'Être immuable. Pour la plupart, seules la géométrie et l'astronomie, toutes deux hautement mathématiques, semblaient être à la hauteur de ce niveau élevé. L'accent mis ici sur les mathématiques révèle également une influence pythagoricienne sur Platon.
Cosmologie. Le dialogue tardif connu sous le nom de Timée (vers 355 à 347 avant notre ère). Là, Platon donne ce qu'il appelle une «histoire plausible» - le meilleur qui puisse être offert, étant donné qu'elle vise à expliquer le monde obscur des sens. Plus précisément, il rend compte de l'arrangement de toutes choses dans le monde par un artisan divin ou Démiurge (demiourgos). Contrairement au Dieu des traditions judéo-chrétiennes et islamiques, le Démiurge n'est pas un créateur au sens strict du terme, puisqu'il travaille avec de la matière préexistante. De plus, il n'est même pas tout-puissant, puisque la matière elle-même peut résister obstinément à ses efforts pour la former d'une manière ou d'une autre. Il est plutôt un dieu qui façonne, et qui le fait en gardant un œil fixé sur les Formes éternelles, qui lui fournissent des modèles pour les choses de ce monde. À partir de ce point de départ, et sous la forme d'un conte mythique qu'il ne faut peut-être pas prendre trop à la lettre, Platon continue à construire toute une cosmologie. Il vise à être aussi complet que possible, combinant les mathématiques, la physique, la biologie et la physiologie dans un système unique et complexe.
Formes géométriques. Ses dettes envers les penseurs grecs antérieurs sont assez faciles à identifier. Il a emprunté à Empédocle l'idée que toutes les substances sont composées des quatre «racines» de base, la terre, l'eau, l'air et le feu. Dans un mouvement beaucoup plus radical, cependant, et certainement avec une inspiration pythagoricienne, il identifia chacun de ces quatre avec une forme géométrique solide. Le feu est une figure à quatre côtés, ou tétraèdre, et ressemble à une pyramide. La Terre est un cube et a donc six côtés. L'air est un octaèdre ou un polygone à huit côtés. Le dernier élément et le plus complexe, enfin, est l'icosaèdre de l'eau à vingt faces. La géométrie grecque, dont les détails exacts au siècle avant Platon sont au mieux flous,
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avait déjà déterminé que ces quatre formes - plus une cinquième, le dodécaèdre (douze côtés) - sont les seuls solides géométriques réguliers.
Triangles. Platon a ensuite analysé chacune de ces formes encore plus loin, à savoir dans une combinaison de l'un ou l'autre de deux types de base de triangles: le droit et l'équilatéral. Deux triangles isocèles droits, par exemple, ou encore quatre triangles équilatéraux, peuvent être joints pour former une face d'un cube; le solide entier lui-même serait alors égal à 6 x 4 ou 24 triangles. L'élément air, identifié à un octaèdre, peut être décomposé en huit de ces triangles; l'eau, l'icosaèdre, est composée de vingt.
Problème de changement. Aussi bizarre que puisse paraître cette théorie aux yeux modernes, elle a du sens et possède même des atouts reconnaissables en soi. Pour commencer, il marque une avancée sur Empédocle et les autres pluralistes, car il réduit leurs quatre éléments à une seule réalité fondamentale. De plus, en analysant le feu, l'air, l'eau et la terre en quatre, huit, vingt et vingt-quatre triangles, respectivement, il résout un problème majeur que le système Empedoclean laisse sans solution. Selon Empedocles, chacune des quatre racines est fondamentale et fondamentale, en ce sens qu'elle est incapable de toute analyse plus approfondie. L'air, par exemple, ne peut pas être décomposé en éléments constituants plus petits et ne peut jamais se transformer en quoi que ce soit d'autre, malgré le fait que l'observation directe offre de nombreuses preuves que l'air se condense en eau et que l'eau s'évapore en air. Comment expliquer ces simples changements si chacune des quatre racines garde en permanence sa propre forme?
Transformation. Les éléments composites de Platon, en revanche, peuvent être facilement transformés les uns dans les autres par la simple addition ou soustraction des triangles dont ils sont faits. Enlevez deux triangles de la terre, par exemple, et le résultat sera le feu. Il en résulte une sorte de chimie des combinaisons et des proportions qui est similaire à celle proposée par Empédocle, mais qui opère à un niveau beaucoup plus fondamental. En outre, le discours vague d'Empédocle sur «quatre parties de feu, deux parties d'eau, deux parties de terre» comme recette pour la production d '«os», par exemple, pourrait maintenant être remplacé par des formules mathématiques apparemment plus précises, comme celle de Platon propose de rendre compte de la façon dont (un icosaèdre de) l'eau change dans le processus d'ébullition en (deux octaèdres) d'air et (un tétraèdre de) feu: 20 = [2 x 8} + 4.
Maths et nature. Ce qui est peut-être le plus important de tout dans le récit cosmologique Timée c'est le fait qu'il achève le projet commencé par les pythagoriciens. Dans leur conviction que les nombres sont la réalité de base, les Pythagoriciens avaient cherché (à la fois mystiquement et mathématiquement) à découvrir la structure numérique cachée du monde. À cet égard, ils ont mathématisé la nature. Le travail de Platon dans le Timée porte ce processus à sa conclusion logique en identifiant la réalité ultime avec des formes géométriques. Les premiers penseurs grecs étaient des matérialistes: la «substance» fondamentale du monde était toujours considérée par eux comme précisément cette «substance» - c'est-à-dire comme une entité physique. Bien que les quatre éléments de Platon (terre, air, feu et eau) soient matériels, cependant, son système les a réduits aux formes beaucoup plus abstraites et non matérielles des triangles. Le monde physique pouvait maintenant être construit, décomposé et refait à nouveau en combinant des parties géométriques. Une fois cela accompli, les anciennes questions de savoir de quoi est faite la réalité et comment elle subit tous ses innombrables changements semblaient bien plus proches d'être résolues. De plus, la langue préférée dans laquelle les réponses acceptables à ces questions devaient être exprimées était désormais décidément la langue des mathématiques.